复习经验

我线性代数的学习路线（按顺序）
- 寺田文行的线性代数教材（1 week）
- 寺田文行的线性代数演习（1 week）
- 框框老师的线代速通课（3 hours）
- 名古屋大学过去问（5 days）
- 京都大学过去问（5 days）+ 京大过去问英语总结（1 day）

说明：

寺田文行的线代教材是我的一轮复习，用于梳理知识点，同时熟悉日语术语和读题能力（在名古屋大学图书馆借阅）。

寺田文行的线代演习是配套习题，学习完教材后，我用一周时间完成，重点训练解题技巧和速度。

之后，我转向微积分、微分方程、概率论和数理统计的学习。考前一个月，作为二轮复习，我看了框框老师的线代速通课，回顾核心题型，并总结笔记。

二轮复习结束后，考前三周，我刷了名古屋大学和京都大学的过去问，整理错题，补充知识点。

总结与补充：
线性代数知识点少，理解相对容易，但题型灵活多变。复习的核心在于题型总结和错题整理，这两者是提升解题速度和应试能力的关键。
按照上述学习路径，能够应对大多数基础题型，并提升解题速度，满足一般考试需求。然而，在较难的考试中，线性代数的难题主要集中在以下几类：

矩阵与微积分结合：考察观察力和灵活应变能力。

线性代数与复数结合：通常涉及 Hermitian 和 Unitary 矩阵。

线性代数的几何应用：要求深入理解线性变换、子空间、以及二次型在几何中的作用，如如何调整不规范的椭圆形等。

前两类问题通常是知识点遗漏所致，遇到一次后补充知识点，基本不会再错。第三类则需要更深入的概念理解，可以通过 B 站 3B1B 线性代数系列视频作为辅助，刷完基本就能掌握。

↓↓↓↓↓下面是笔记部分↓↓↓↓↓

前言

本笔记主要用于 题型总结，记录了二轮复习时的核心必会题型，并非全面覆盖所有知识点。

使用建议：

基础不扎实 → 建议先通过网课或教材完成一轮系统学习，再用本笔记查缺补漏。
已完成一轮学习 → 可直接使用本笔记查漏补缺，遇到遗忘的内容，可根据关键词查找相关资料复习。

行列式计算

1. 行列式的计算方法

行元素和相等行列式
范德蒙行列式：后减前
爪形行列式：对角线变 1
余子式 & 代数余子式
拉普拉斯公式：第一讲：行列式的计算（续）（三种题型）
伴随矩阵：先求代数余子式，再转置（※）

矩阵

1. 矩阵基本运算

矩阵相乘合法性：内标相等
矩阵相乘不满足交换律，满足分配律
矩阵求逆
矩阵乘以一个系数对行列式值的影响：不是单纯的乘以系数，而是系数的 n 次方（※）
矩阵乘积的行列式 = 行列式的乘积
矩阵加法的行列式 ≠ 行列式的加法（※）
矩阵求秩
矩阵乘法小技巧：左行右列（）

向量组

数字向量组判断线性相关性
抽象向量组判断线性相关性
向量组的秩 = 向量组极大无关组个数
- 一般取转角处的向量（框框老师视频中有提及）

线性方程组

1. 齐次方程组（Ax = 0）

r < n：无穷多解
r = n：唯一 0 解
求解方法

2. 非齐次方程组（Ax = b）

r(A) ≠ r(A|b)：无解
r(A) = r(A|b)：
- r < n：无穷多解
- r = n：唯一解
求解方法：齐次通解 + 特解

矩阵的特征值和特征向量

特征值 & 特征向量公式：Aα = λα
特征值求法
特征值对应特征向量（解系）的求法
矩阵的迹和特征值的关系
矩阵的行列式和特征值的关系
矩阵多项式对应的特征值

矩阵运算	A	A²	A³ + 5A - 6E	A⁻¹	A*	Aᵀ	β = P⁻¹ A P
特征值	λ	λ²	λ³ + 5λ - 6	1/λ		λ	/λ
特征向量	α	α	α	α	α	不确定	P⁻¹α

1. 矩阵的相似对角化

$P^{-1} A P = ʌ$（逆矩阵在左边，别弄反了 ※）
对称矩阵的相似对角化：$Q^{-1} A Q = \Lambda$
- Q 为单位正交矩阵
- 求出 P 后要进行单位正交化
- 不同特征值对应的特征向量永远正交

2. Smith 正交化（※）

单位化：元素除以长度

二次型（x^T A x）

1. 二次型的矩阵表示

2. 二次型化标准型

配方法：一个一个配，配全了
正交变换法：QAQ (上面的对称矩阵相似对角化)
x = Qy

3. 二次型正定判定条件

A 的特征值全大于 0
A 的各阶主子式都大于 0

京都大学习题知识补充

1. 复数矩阵

Hermitian 矩阵和 Unitary 矩阵 知乎文章
概括：复数矩阵转置时，要同时共轭（这样转置 * 原矩阵才等于长度）

Hermitian 矩阵

定义：A 的共轭转置 = A
特征值都是实数
不同特征值对应特征向量正交

Unitary 矩阵

定义：单位正交矩阵，A 的共轭转置 * A 为单位矩阵
作用：Unitary 矩阵乘以任何一个向量，向量长度保持不变
特征值的性质：所有特征值的绝对值都为 1

2. 线性空间的子空间

7.2 子空间

子空间的概念
- 在 Z 空间下的一个空间 z1，满足加法和数量乘法的封闭，则 z1 为 Z 的子空间
通俗的判断方式
- 子空间中包含整个空间中的原点
- 子空间中任意向量的负向量还在该子空间中
子空间的分解
- 如果一个空间可以看作两个子空间相加，那么这两个子空间的单位向量组共同组成整个空间的单位向量组